JEZEQUEL Fabienne

Contrôle dynamique de méthodes d'approximation

Une méthode d'approximation fournit un résultat entaché d'une erreur de méthode inhérente à l'algorithme utilisé et d'une erreur d'arrondi due à la précision finie de l'arithmétique de l'ordinateur. Lorsque le pas de discrétisation d'une telle méthode décroît, l'erreur de méthode diminue, mais l'erreur d'arrondi augmente. Il peut alors être difficile de contrôler ces deux erreurs à la fois. L'Arithmétique Stochastique Discrète (ASD) est une méthode automatique d'analyse d'erreur d'arrondi, qui utilise un mode d'arrondi aléatoire. Son coût doit rester modéré quelle que soit la machine utilisée. Une implémentation de l'ASD a été effectuée sur architecture vectorielle pour permettre l'utilisation du mode d'arrondi aléatoire sans inhiber la vectorisation. Afin d'obtenir avec une méthode d'approximation un résultat pour lequel l'erreur globale (qui comprend l'erreur de méthode et l'erreur d'arrondi) est minimale, une stratégie, fondée sur un calcul de suite, a été proposée. Les calculs sont effectués jusqu'à ce que la différence entre deux itérés successifs soit non significative. Il est alors possible de déterminer quels chiffres du résultat obtenu sont communs avec la solution exacte. Cette stratégie peut s'appliquer au calcul d'intégrales par la méthode des trapèzes, de Simpson, de Romberg ou de Gauss-Legendre. Les différents résultats théoriques qui ont été établis peuvent se combiner si une méthode numérique nécessite le calcul de plusieurs suites. Lorsqu'une intégrale sur un domaine infini est approchée par une somme d'intégrales sur des domaines finis, le nombre optimal d'intervalles traités et le pas d'intégration optimal pour chaque intervalle peuvent être déterminés dynamiquement. Deux approches ont été étudiées pour le contrôle dynamique du calcul d'intégrales multiples. Le principe des "intégrales itérées" consiste à décomposer l'intégrale multiple en plusieurs intégrales monodimensionnelles, qui peuvent être évaluées par une méthode de quadrature. On peut alors déterminer dynamiquement la valeur optimale du pas d'intégration pour chaque dimension du domaine traité. Une intégrale multiple peut aussi être évaluée par une méthode de cubature, adaptée au domaine traité. La stratégie proposée consiste alors à calculer une suite d'approximations fondées sur des divisions successives du domaine d'intégration. Les différents résultats théoriques obtenus ont été appliqués au calcul de deux intégrales impropres : l'une établie en cristallographie, l'autre issue de l'étude des étoiles à neutrons.

Soutenance : 10/02/2005

Membres du jury :

BREZINSKI Claude, Professeur, Université Lille 1, Rapporteur
PHILIPPE Bernard, Directeur de recherches, INRIA, IRISA, Rennes, Rapporteur
RAYDAN Marcos, Professeur, Universidad Central de Venezuela, Rapporteur
ALEFELD Götz, Professeur, Universität Karlsruhe, Allemagne, Examinateur
CHESNEAUX Jean-Marie, Professeur, Université Paris 6, Examinateur
HIGHAM Nicholas J,Professeur, University of Manchester, Royaume-Uni, Examinateur
VIGNES Jean, Professeur émérite, Université Paris 6, Examinateur