Direction de recherche : Jean-Charles FAUGÈRE

Co-encadrement : SAFEY EL DIN Mohab

Régularisation du calcul de bases de Gröbner pour des systèmes avec poids et déterminantiels, et application en imagerie médicale

La résolution de systèmes polynomiaux est un problème aux multiples applications, et les bases de Gröbner sont un outil important dans ce cadre. Il est connu que de nombreux systèmes issus d'applications présentent une structure supplémentaire par rapport à des systèmes arbitraires, et que ces structures peuvent souvent être exploitées pour faciliter le calcul de bases de Gröbner. Dans cette thèse, on s'intéresse à deux exemples de telles structures, pour différentes applications. Tout d'abord, on étudie les systèmes homogènes avec poids, qui sont homogènes si on calcule le degré en affectant un poids spécifique à chaque variable. Cette structure apparaît naturellement dans de nombreuses applications, dont un problème de cryptographie (logarithme discret). On montre comment les algorithmes existants, efficaces pour les polynômes homogènes, peuvent être adaptés au cas avec poids. Les bornes de complexité pour des systèmes homogènes avec poids génériques sont alors divisées par un facteur polynomial en le produit des poids, par rapport aux bornes pour des systèmes homogènes génériques de même degré. Par ailleurs, on étudie un problème de classification de racines réelles pour des variétés définies par des déterminants. Ce problème a une application directe en théorie du contrôle, pour l'optimisation de contraste de l'imagerie à résonance magnétique (IRM). Ce problème particulier s'avère hors de portée des algorithmes préexistants pour la classification. On montre comment, en adaptant ces stratégies pour tirer profit de la structure déterminantielle du système, les calculs deviennent praticables. De plus, on illustre ce procédé en apportant des réponses aux questions posées par le problème d'optimisation de contraste.

Publications 2013-2017

• 2017
  • B. Bonnard, O. Cots, J.‑Ch. Faugère, A. Jacquemard, J. Rouot, M. Safey El Din, Th. Verron : “Algebraic-geometric techniques for the feedback classification and robustness of the optimal control of a pair of Bloch equations with application to Magnetic Resonance Imaging”, (2017)
• 2016
  • Th. Verron : “Regularization of Gröbner basis computations for weighted and determinantal systems, and an application to medical imagery”, soutenance de thèse, soutenance 26/09/2016, direction de recherche Faugère, Jean-Charles, co-encadrement : Safey, EL DIN Mohab (2016)
  • J.‑Ch. Faugère, M. Safey El Din, Th. Verron : “On the complexity of computing Gröbner bases for weighted homogeneous systems”, Journal of Symbolic Computation, vol. 76, pp. 107-141, (Elsevier) (2016)
  • B. Bonnard, J.‑Ch. Faugère, A. Jacquemard, M. Safey El Din, Th. Verron : “Determinantal sets, singularities and application to optimal control in medical imagery”, International symposium on symbolic and algebraic computations, Waterloo, Canada, pp. 103-110, (ACM) (2016)
• 2013
  • J.‑Ch. Faugère, M. Safey El Din, Th. Verron : “On the Complexity of Computing Gröbner Bases for Quasi-homogeneous Systems”, ISSAC '13 : Proceedings of the 38^th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Boston, Maine, United States, pp. 189-196, (ACM) (2013)