Supervision : Jean-Charles FAUGÈRE

Utilisation des bases de Gröbner SAGBI pour la résolution des systèmes polynômiaux invariants par symétries

Dans cette thèse, nous proposons une méthode efficace pour résoudre des systèmes polynômiaux dont les équations sont invariantes par l'action d'un groupe fini $G$. L'idée est calculer simultanément une base de Gröbner SAGBI (une généralisation des bases de Gröbner à des idéaux de sous algèbres de l'anneau des polynômes) et une base de Gröbner dans l'anneau des invariants symétriques $K[e_1,...,e_n]$ où $e_i$ est le i-ème polynôme symétrique élémentaire. Plus précisément, nous proposons dans cette thèse deux algorithmes: nous explicitions d'abord un algorithme à la F5 pour calculer efficacement une base de Gröbner SAGBI tronquée. Le deuxième algorithme est une version légèrement modifiée de l'algorithme FGLM qui permet de convertir une base de Gröbner SAGBI tronquée d'un idéal de dimension zéro en une base de Gröbner tronquée dans l'anneau des invariants symétriques . Enfin, nous montrons comment ces algorithmes peuvent être combinés pour trouver les racines complexes d'un tel système algébrique.

2009-2016 Publications

• 2016
  • M. Boroujeni, A. Basiri, S. Rahmany, A. Valibouze : “Finding solutions of fuzzy polynomial equations systems by an Algebraic method”, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, vol. 30 (2), pp. 791-800, (IOS Press) (2016)
• 2015
  • M. Boroujeni, A. Basiri, S. Rahmany, A. Valibouze : “Solving Fuzzy Systems in Dual Form using Wu’s Method”, International Journal of Fuzzy Systems, vol. 17 (3), pp. 280-291, (Taiwan Fuzzy Systems Association) (2015)
  • M. Boroujeni, A. Basiri, S. Rahmany, A. Valibouze : “F4-invariant Algorithm for Computing SAGBI-Gröbner Bases”, Theoretical Computer Science, vol. 573, pp. 54-62, (Elsevier) (2015)
• 2009
  • S. Rahmany : “Utilisation des bases de Gröbner SAGBI pour la résolution des systèmes polynômiaux invariants par symétries”, thesis, phd defence 07/17/2009, supervision Faugère, Jean-Charles (2009)
  • J.‑Ch. Faugère, S. Rahmany : “Solving systems of polynomial equations with symmetries using SAGBI-Gröbner bases”, ISSAC '09: Proceedings of the 2009 international symposium on Symbolic and algebraic computation, Seoul, Korea, Republic of, pp. 151-158, (ACM) (2009)