Supervision : Fabrice ROUILLIER

Sur la décomposition réelle et algébrique des systèmes dépendant de paramètres

Cette thèse traite des systèmes paramétrés. Ils modélisent de nombreuses applications apparaissant dans divers domaines, comme la robotique ou la calibration. Soit S un système d’équations et d’inéquations polynomiales dépendant de paramètres. Nous abordons le problème de décrire l’ensemble des ouverts connexes U de l’espace des paramètres tels que S restreint à U admet un nombre constant de solutions réelles. En robotique, notre approche nous a permis de détecter les positions cuspidales, importantes pour la planification de trajectoire des robots parallèles 3 RPR dans le plan. En calibration photographique, nous avons pu décrire le nombre de solutions physiquement réalisables du problème Perspective-3-Points. D'un point de vue théorique, nous analysons le problème du calcul de la variété discriminante d’'un système paramétré. Sous certaines hypothèses, nous montrons que le calcul de la variété discriminante peut se réduire à un calcul de projection. En particulier, nous présentons un algorithme polynomial en espace pour la calculer. Dans le cas des systèmes d’équations polynomiales quelconques, nous introduisons les décompositions régulières, où chaque composante est représentée par une suite régulière en dehors d’une hypersurface. Notre algorithme pour les calculer est basé sur la saturation d’idéal et possède de bonnes performances en pratique. Cette représentation permet en outre, dans le cadre des systèmes paramétrés, de diminuer la combinatoire liée au calcul de lieux critiques pour la discrimination des paramètres. Par ailleurs, nous déduisons de ces travaux un nouvel algorithme pour le calcul du radical d’un idéal.

2006-2011 Publications

• 2011
  • G. Moroz : “Properness Defects of Projection and Minimal Discriminant Variety”, Journal of Symbolic Computation, vol. 46 (10), pp. 1139-1157, (Elsevier) (2011)
• 2010
  • G. Moroz, F. Rouillier, D. Chablat, Ph. Wenger : “On the determination of cusp points of 3-R\underline{P}R parallel manipulators”, Mechanism and Machine Theory, vol. 45 (11), pp. 1555-1567, (Elsevier) (2010)
  • G. Moroz, D. Chablat, Ph. Wenger, F. Rouillier : “Cusp points in the parameter space of RPR-2PRR parallel manipulators”, New Trends in Mechanism Science: Analysis and Design, vol. 5, Mechanisms and Machine Science, Cluj-Napoca, Romania, pp. 29-37, (Springer) (2010)
• 2008
  • G. Moroz : “Sur la décomposition réelle et algébrique des systèmes dépendant de paramètres”, thesis, phd defence 12/09/2008, supervision Rouillier, Fabrice (2008)
  • J.‑Ch. Faugère, G. Moroz, F. Rouillier, M. Safey El Din : “Classification of the perspective-three-point problem, discriminant variety and real solving polynomial systems of inequalities”, ISSAC 2008 - 21^st International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Hagenberg, Austria, pp. 79-86, (ACM) (2008)
  • G. Moroz, F. Rouillier : “Explicit classification of the 9 first Haas parametric systems”, Proceedings of ADG 2008 --- Seventh International Workshop on Automated Deduction in Geometry, Shanghai, China (2008)
• 2006
  • G. Moroz : “Complexity of the Resolution of Parametric Systems of Polynomial Equations and Inequations”, International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Genova, Italy, pp. 246-253, (ACM Press) (2006)
  • G. Moroz : “Complexity of Resolution of Parametric Systems of Polynomial Equations and Inequations”, (2006)