A Commutativity Condition For Skewfields Based On The Permutation Property

F. d' Alessandro

IBP-Litp 1994/32: Rapport de Recherche Litp / Litp research reports
6 pages - Décembre/December 1994 - Document en anglais.

PostScript : Ko /Kb

Titre / Title: A Commutativity Condition For Skewfields Based On The Permutation Property

Résumé : En 1905, Wedderbun a démontré le célèbre théorème selon lequel tout corps fini est commutatif. Répondant à une question posée par A. de Luca, on donne ici une condition de commutativité pour les corps infinis basée sur la propriété de permutation. Cette propriété est définie en général pour le semigroupe de la façon suivante : soit S un semigroupe et n un entier „ 2. On dit que S satisfait la propriété de permutation Pn, si, pour chaque suite finie s1,..., sn OE S il existe une permutation non triviale s de {1,..., n} telle que s1...sn = ss
Nous montrons que si K est un corps infini et si la partie multiplicative K* de K satisfait la propriété de permutation Pn, alors K est commutatif. Puisque la partie multiplicative de tout corps fini K satisfait la propriété Pn avec n = Card (K*), notre résultat peut être vu comme une extension du (petit) théorème de Wedderbun.

Abstract : In 1905, Wedderbun proved the beautiful theorem which states that a finite skewfields is a (finite) field. Answering a question raised by A. de Luca, we give a commutativity condition for infinite skewfields based on the permutation property. This property is defined, in general for semigroupes, as follo pws : let S be a semigroup and n an integer „ 2. S satisfies the permutation property Pn if for any sequences s1, s2,..., sn OE there exists a permutation .s of (1,...,n) with s id. such that s1s2...sn = ss(1)...ss(n).
We shall prove that if the multiplicative part K* of an infinite skewfield K satisfies the property Pn, then K is a field. Since the multiplicative part of every finite skewfield K satisfies the property Pn with n = Card (K*), our result can be viewed as a formal generalization of the Wedderbun's (little) theroem

Publications internes Litp 1994 / Litp research reports 1994